就和论文的标题一样，这这篇只有九页的论文里，黎曼直接给出了素数计算函数的准确表达式，只是他的论文过于简略，并没有明确证明过程，以至于即便到了今天，我们也只是证明出了其中的一小部分内容。

更令人遗憾的是，1866年，年仅40岁的天才数学家黎曼就因为肺结核去世了。

否则，也许黎曼猜想在今天，早已不是猜想了。

黎曼给出的表达式pi;(x)由两部分组成，一部分是J(x)，这就是黎曼给出的素数计算函数，由这个函数可以计算出一个pi;(x)的近似值。

另外一部分是对J(x)的修正项，mu;(n)/n。

通过修正项的修正之后，所得到的数值就是准确的pi;(x)的值了。

但说到这里，仿佛还是没有提到前面说的两个问题，黎曼zeta;函数和它的非平凡零点。

接下来我们首先说一下黎曼zeta;函数，它可以表示为zeta;(s)，之所以用这个函数是在复数域上的函数，复数域函数的自变量用s而不是x来表示。

至于什么是复数，如果再扩展来讲，那就真的太浪费篇幅了，这里略过不提。

言归正传，当我们解zeta;(s)=0的这个方程的时候，我们可以得到两种类型的解。

第一，也是一个简单的解，s=-2n，也就是所有的负偶数。

显然这很简单，所以也叫做平凡解，或者叫做平凡零点。

第二，s=a+bi，很明显这是复数解。

复数解非常复杂，至今没有找到所有的答案，所以也被成为非平凡解，或者非平凡零点。

现在，我们已经知道什么是黎曼zeta;函数，也知道什么是它的非平凡零点了，那么它和前面说道的黎曼给出的素数计算函数又有什么关系呢?

简单的说就是，黎曼提出的素数计算函数的其中部分就包含了黎曼zeta;函数的非平凡零点rho;，而如果我们可以知道所有的rho;，就可以得到精确的pi;(x)。

也就是说，证明黎曼猜想就是要证明，rho;的所有实部Re(rho;)=1/2。

而如果能够证明黎曼猜想，我们将能够在关于素数分布了解上前进一大步，可以说黎曼猜想是目前素数领域最重要的猜想。